Niels Abel probó la imposibilidad de resolver algebraicamente ecuaciones de quinto grado.

La vida de Abel estuvo dominada por la pobreza. Después de muerto su padre, quien era un ministro protestante, Abel tuvo que asumir la responsabilidad de mantener a su madre y familia, en 1820.

El profesor de Abel, Holmboe, reconoció su talento para las matemáticas, debido a su falta de dinero para asistir a una colegiatura para ingresar a la universidad de Christiania, ingresó a la universidad en 1821, diez años después de que la universidad fuera fundada, y se graduó en 1822.

Abel publicó en 1823 escritos de ecuaciones funcionales e integrales . En esto Abel dio la primera solución de una ecuación integral. En 1824 probó que era imposible resolver algebraicamente ecuaciones de quinto grado y de su propio costo realizó publicaciones con la esperanza de obtener reconocimiento por su trabajo.

Eventualmente ganó un premio de escolaridad del gobierno para viajar al extranjero, visitó Alemania y Francia.

Abel fue el instrumento que le dio estabilidad al análisis matemático sobre bases rigurosas. Su mayor trabajo "Recherches sur les fonctions elliptiques" fue publicado en 1827 en el primer volumen del diario Crelle, el primer periódico dedicado enteramente a las matemáticas. Abel visitó este periódico en su visita a Alemania.

Después de su visita a París, retornó a Noruega bastante débil. mientras estuvo en París visitó a un doctor quién le informó que padecía de tuberculosis. A pesar de su mala salud y la pobreza, continuó escribiendo sus escritos y la teoría de la ecuación y de las funciones elípticas de mayor importancia en el desarrollo de la teoría total. Abel revolucionó el entendimiento de las funciones elípticas por el estudio de la función inversa de esa función.

Abel viajó muy enfermo a visitar a su familia para la Navidad de 1828 en Froland. El comenzó a decaer y estuvo seriamente enfermo y murió a los pocos meses después.